[선형대수] 벡터와 공간 - 선형결합과 생성

이번 포스트에서는 Khan academy의 Linear combination(선형결합)에 대해 알아보자.

${\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,...,{\overrightarrow{v}}_n\in \mathbb{R}$일 때,  $c_1{\overrightarrow{v}}_1+c_2{\overrightarrow{v}}_2+...+c_n{\overrightarrow{v}}_n$을 선형결합이라고 한다. 
선형결합이라고 하는 이유는 상수배를 한 벡터들을 더하기 때문!

만약, $\overrightarrow{a}=(1,2),\overrightarrow{b}=(0,3)$일 때, 벡터 $\overrightarrow{a}$와 벡터 $\overrightarrow{b}$의 다양한 선형결합을 고려해보자.
$0\overrightarrow{a}+0\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$
$3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=(3,0)$ # 위의 그림 참고!

즉 2차원 상의 모든 점을  $\overrightarrow{a}$와 $\overrightarrow{b}$의 선형 결합으로 얻을 수 있다. 
이를 수식으로 표현하면, $Span(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=$ R 이다.

주의해야할 점은, 일부 $\overrightarrow{a}$와 $\overrightarrow{b}$의 결합은 2차원상의 모든 벡터를 다 나타내지는 못한다.  
예를 들어 $\overrightarrow{a}=(2,2),\overrightarrow{b}=(-2.-2)$이면 본질적으로 두 벡터는 같은 선상에 있다.
그러니 어떤 선형결합을 해도 표현할 수 있는 것은 직선 위에 있는 점들 뿐이다.

일반화해서 정리해보자.

역시 latex랑 싸우다...^^;;

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같은 내용을 대수적으로 증명해보자.