이번 포스트에서는 Khan academy의 Linear combination(선형결합)에 대해 알아보자.
\(\vec v_1, \vec v_2, ... , \vec v_n \in \mathbb R\)일 때, \(c_1\vec v_1 + c_2\vec v_2 + ... + c_n\vec v_n\)을 선형결합이라고 한다.
선형결합이라고 하는 이유는 상수배를 한 벡터들을 더하기 때문!
만약, \(\vec a = (1, 2), \vec b = (0, 3)\)일 때, 벡터 \(\vec a\)와 벡터 \(\vec b\)의 다양한 선형결합을 고려해보자.
\(0\vec a + 0\vec b = \vec 0\)
\(3\vec a - 2\vec b = (3, 0)\) # 위의 그림 참고!
즉 2차원 상의 모든 점을 \(\vec a\)와 \(\vec b\)의 선형 결합으로 얻을 수 있다.
이를 수식으로 표현하면, \(Span(\vec a, \vec b) = \) R 이다.
주의해야할 점은, 일부 \(\vec a\)와 \(\vec b\)의 결합은 2차원상의 모든 벡터를 다 나타내지는 못한다.
예를 들어 \(\vec a = (2, 2), \vec b = (-2. -2)\)이면 본질적으로 두 벡터는 같은 선상에 있다.
그러니 어떤 선형결합을 해도 표현할 수 있는 것은 직선 위에 있는 점들 뿐이다.
일반화해서 정리해보자.
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같은 내용을 대수적으로 증명해보자.
