[선형대수] 벡터와 공간 - 선형독립

이번 포스팅에서는 Khan academy의 linear independent(선형독립)에 대해 알아보자. 
저번 학기에 다변량 수업을 들으면서, 벡터에 곱해지는 상수항들이 전부 0이면 선형독립이라는 걸 배웠(?)는데
그 의미에 대해 이해하지 못한채로 넘어갔었다. 살만 칸쌤 덕분에 드.디.어. 이해했다 ~!~!~!~!!!!

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이게 영어로 이해하면 편한데, 한국어로 뭔가 어려운 단어를 써서 띠용스럽다. 
나는 살만 칸쌤처럼 Linear Dependent / Independent 터미놀로지를 사용하겠다!!!!!!

Linear Independent전에 linear dependent를 먼저 이해해보자. 
이전 포스팅에서 살펴보았듯,  $S=\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$일 때,  $Span(S)$는  $c_1{\overrightarrow{v}}_1+c_2{\overrightarrow{v}}_2$으로 나타낼 수 있는 모든 벡터의 집합이다.  

예시로 이해해보자. Learn by example!

$S=\{(2,3),(4,6)\}$이라는 2차원의 벡터 2개로 이루어진 집합 S가 주어졌다. 
$Span(S)=(c_1+2c_2)(2,3)$이다. (4, 6)은 (2, 3)의 두 배이기 때문! (집합의 한 벡터를 다른 벡터의 선형결합으로 나타내진다.)
즉, 두 벡터로 나타낼 수 있는 모든 벡터는 직선 위에만 있다는 것이다. 
⇒즉, 집합 S는 Linear Dependent Set이다. 

3차원 공간에서의 linear Independent 상황

S가 Linear Independent하려면, 집합 S의 벡터들은 나머지 벡터들의 선형 결합으로 나타내지면 안된다. 
쉽게 말해, S의 벡터들이 다른 방향을 가리켜야한다. 

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이번에는 예시가 아닌, 수학적 정의로 살펴보자.

$S=\{{\overrightarrow{v}}_1,{\overrightarrow{v}}_2,...,{\overrightarrow{v}}_n\}$가 있다.
해당 집합 S가  Linear Dependent set이면, 필요 충분 조건으로 $c_1{\overrightarrow{v}}_1+c_2{\overrightarrow{v}}_2+...+c_n{\overrightarrow{v}}_n=0$에서 모든 $c_i$들 중 적어도 하나이상은 0이 아니어야 한다.
이 정의를 증명하려면, 필요 조건과 충분 조건 모두가 성립하는지 살펴보아야한다.

 

i) 👉🏼 방향으로 증명
$vec{v}_1=a_1{\overrightarrow{v}}_2+...+a_n{\overrightarrow{v}}_n$
⇔ $0=-{\overrightarrow{v}}_1+a_2{\overrightarrow{v}}_2+...+a_n{\overrightarrow{v}}_n$
즉,$a_1=-1\ne 0$이므로 조건이 참이다.

 

ii) 👈🏼방향으로 증명
$c_1\ne 0$이라고 가정하자.
$c_1{\overrightarrow{v}}_1+c_2{\overrightarrow{v}}_2+...+c_n{\overrightarrow{v}}_n=0$
⇔ ${\overrightarrow{v}}_1+\frac{c_2}{c_1}{\overrightarrow{v}}_2+...+\frac{c_n}{c_1}{\overrightarrow{v}}_n=0$
∴${\overrightarrow{v}}_1=\frac{c_2}{c_1}{\overrightarrow{v}}_2-...-\frac{c_n}{c_1}{\overrightarrow{v}}_n$로 나타낼 수 있다.
즉, \(\vec v_1)\를 다른 벡터의 결합으로 표현할 수 있으며, 해당 벡터들을 포함하는 집합은 linear dependent set이 된다.

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다음은  Linear Dependent / Independent의 다양한 예시들이다.
EX1)

 

EX2)

 

즉, a=b=c=0이기때문에, linear dependent하지 않고 linear independent하다.
선형 독립은 해당 집합의 모든 벡터들이 다른 방향을 나타낸다는 것이다 ! ! !