2차원과 다르게 3차원 이상의 고차원 공간에서는 직선을 나타내기 위한 유일한 방법이 바로 매개변수 방정식이다.
그렇다면, 매개변수 방정식에 대해 2차원에서부터 살펴보자.
● Set of collinear vector
실수 공간에 벡터 v가 있다고 하자. \( \vec v = (2, 1)\)라고 할 때, 동일선상에 존재하는 벡터의 집합은 \( S = \{ c\vec v | c \in \mathbb R \}\)으로 나타낼 수 있다.
이 S 를 공간상에 모두 촘촘하게 표현을 하면(c가 -무한대 ~ +무한대까지 가능하다고 볼 수 있겠다.), 이는 기울기를 갖는 어떠한 직선을 그리게 된다. 이 직선상의 임의의 벡터에 \(\vec x \)를 더해서, 또 촘촘하게 표현을 하면 원래 직선과 평행하는 어떠한 직선이 그려진다. 이는 \( L = \{ \vec x + t\vec v | t \in \mathbb R \}\)으로 나타낼 수 있다.
말은 복잡하지만 그림으로 표현하면 쉽다. 아래의 남색이 S 집합을 2차원 공간에 표현한 직선이고, 아래의 하늘색이 x벡터를 더해서 표현된 L 집합을 표현한 직선이다.
● 직선에 대한 매개변수 정의법(2차)
간단한 Set of collinear vector 표현법을 알아보았으니, 이번에는 L 집합을 x축, y축의 원소로 분해하여 각각 x와 y의 매개변수 방정식으로 표현해보겠다. 위의 예시를 그대로 사용하겠다.
이렇게 x = 2 + 2t, y= 1 + 4t라는 직선에 대한 매개변수를 정의할 수 있다.
● 매개변수 방정식(3차원)
다음은 L집합을 3차원(더 고차원으로도 확장할 수 있다.)으로 확장하여 알아보겠다. 이번에는 3-tuples들을 정의해보겠다.
L집합은 2차원에서와 동일하게 정의된다. (이때, \( \vec P_1 - \vec P_2 \)에 t를 곱해서 더하면, \( \vec P_1 \)에 평행)
L집합에서 열벡터의 원소들을 각각 x, y, z축의 원소로 분해하면 세 개의 매개변수 방정식이 정의된다.
이 매개변수 방정식은 3차원 공간에서 직선을 정의하는 유일한 방정식임을 알 수 있다.
